Страницы авторов "Тёмного леса".
Пишите нам! temnyjles@narod.ru
стр. 220-221
Рассмотрим тройку ⟨C, I, D⟩, где C - категория, I - малая Подкатегория C, D - некоторая подкатегория C, объекты которой являются Прямыми пределами диаграмм в I, и пусть Î - категория предпучков на I (т.е. контравариантных функторов из I в категорию множеств).
Например, если I = {x}, то Î - это категория G-множеств, ГДе G = Hom(x,x).
ТЕОРЕМА. Пусть Φ - функтор из C в Î, переводящий любой объект c ∈ C в суженный на I представимый предпучок Hom(·,c). Тогда сужение Φ на D вполне унивалентно, т.е. является эквивалентностью D на свой образ.
Следует отметить, что если I замкнута относительно конечных копроизведений, то Φ(D) содержится в категории Ï ⊂ Î предпучков, переводящих копроизведения в произведения. Если, кроме того, I = {nx}, (n=0,1,2,...), то Ï является категорией универсальных алгебр, n-арные операции которых - Hom(x, nx).
СЛЕДСТВИЕ 1. Если K - поле, C - категория, дуальная категории K-алгебр, D - категория, дуальная категории сепарабельных алгебраических расширений K и I = {K'} (т.е. содержит единственный объект K' - сепарабельное замыкание K, то вполне унивалентность функтора Φ на D совпадает с основной теоремой теории Галуа.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если C, I, D - категории, дуальные категориям соответственно левых модулей, конечнопорожденных свободных модулей, конечнопорожденных проективных модулей, то Ï - категория правых модулей и Φ(D) - категория правых конечнопорожденных проективных модулей (обычная двойственность линейной алгебры).
СЛЕДСТВИЕ 3. Если категории C и D дуальны, соответственно, категории групп и категории конечных групп, а I содержит единственный объект S∞, то Φ является вложением D в топос G-множеств, где G - полугруппа эндоморфизмов бесконечной симметрической группы.
Отметим также, что если в D есть прямые пределы и I ⊂ D, то Φ(D) - рефлексивная подкатегория Ï, а если I - категория конечных копроизведений некоторого объекта x на себя, и в D есть коуравнители, то Φ(D) - рефлексивная подкатегория категории универсальных алгебр Ï.