Илья Миклашевский

Связности, конформные структуры и уравнение Эйнштейна

Опубликовано на английском языке: "Connections, conformal structures and Einstein equation" (Seminar on supermanifolds, N27. Edited by D.Leites, 1988, N9). И сокращенно по-русски: "Конформная геометрия и уравнение Эйнштейна." (Функциональный анализ и его приложения, 1987, том 21, выпуск 4, стр. 79-80)

В статье предлагаются некоторые переформулировки уравнения Эйнштейна и его обобщений. Точнее, строятся некоторые калибровочно инвариантные уравнения на связности в абстрактных расслоениях над пространством-временем, не наделенным какими-либо структурами (например, метрикой), и устанавливаются естественные соответствия между их решениями и решениями уравнения Эйнштейна. Рассмотрены конформные структуры, содержащие метрику Эйнштейна или метрику Янга-Миллса. Описаны некоторые свойства связностей на векторных расслоениях. С проективной или конформной структурой на многообразии ассоциируются инвариантным образом векторные расслоения со связностью.

Традиционным объектом изучения дифференциальной геометрии являются сечения естественных расслоений, т.е. расслоений, ассоциированных с расслоением (высших) реперов. В физике эти сечения интерпретируются как физические поля. Группа диффеоморфизмов базы действует на естественном расслоении, и принцип ковариантности утверждает, что все физические уравнения инвариантны относительно этого действия. Однако, всё многообразие физических полей не удалось описать в рамках естественных расслоений над пространством-временем. Уже рассмотрение (фундаментальных для физики) спинорных полей требует обобщения "принципа ковариантности", т.к. спинорное расслоение не является естественным. Это приводит к необходимости абстрактных расслоений, т.е., вообще говоря, не являющихся естественными. Обобщением "принципа ковариантности" является требование инвариантности физических уравнений относительно расширения группы диффеоморфизмов базы с помощью калибровочной группы. В рамках калибровочных теорий физические поля описываются как сечения абстрактных расслоений и как связности на этих расслоениях. Проблема построения единой теории поля ("теории великого объединения") требует единообразного описания всех физических полей, например, в рамках калибровочной теории. Для этого, в силу принципа соответствия, необходима переформулировка эйнштейновской теории гравитации (ОТО) как калибровочной теории.

В настоящей работе описываются различные геометрические структуры (псевдоримановы метрики, линейные связности без кручения, проективные и конформные структуры, грассмановы спинорные структуры) в терминах связностей на абстрактных векторных расслоениях. Это дает подход к единообразному описанию физических полей, включая гравитацию, в рамках калибровочной теории. Переформулировка уравнения Эйнштейна может оказаться полезной и для нахождения его новых частных решений.

Приведем краткое содержание работы. Пусть E → Mⁿ - векторное расслоение со связностью ∇. В §1 с каждым подрасслоением F ⊆ E связывается 1-форма B_F со значением в расслоении H=Hom(F,E/F). Мы называем ее формой Петерсона, она является естественным обобщением второй фундаментальной квадратичной формы поверхности в евклидовом пространстве. Приводится структурное уравнение для формы B_F, являющееся обобщением классических уравнений Петерсона-Кодацци теории поверхностей. Форма B_F называется невырожденной, если она определяет вложение касательного расслоения TM в H. В терминах подрасслоений с невырожденной формой B_F описываются линейные связности без кручения, проективные структуры и грассмановы спинорные структуры (в смысле Манина) на многообразии Mⁿ.

С проективной структурой на многообразии Mⁿ ассоциируется некоторое (n+1)-мерное векторное расслоение со связностью и дается внутреннее описание таких расслоений.

В §2 рассматриваются метрические связности ∇ в расслоении E → M, т.е. связности, сохраняющие некоторое скалярное произведение ⟨·,·⟩ в E. С каждой псевдориммановой метрикой g на Mⁿ ассоциируется (n+1)-мерное векторное расслоение E_g = TMⁿ ⊕ R, где R - 1-мерное тривиальное векторное расслоение с метрической связностью. Дано внутреннее описание таких расслоений и показано, как метрика описывается в терминах этих расслоений.

§3 посвящен описанию обобщенно эйнштейновых метрических связностей на многообразии M⁴. Известно, что лоренцева метрика Эйнштейна на M⁴ однозначно определяется линейной связностью ∇ без кручения, которая сохраняет лоренцеву метрику g (∇g=0) и имеет оператор кривизны R_∇ ∈ EndΛ²(TM⁴), перестановочный с оператором Ходжа *_g. Метрическая связность, удовлетворяющая этому условию, (возможно, с ненулевым кручением), называется обобщенно эйнштейновой. Теорема 1 устанавливает, что расслоение E → M⁴ с метрической связностью изоморфно касательному расслоению с обобщенно эйнштейновой связностью, если оператор R_∇R_∇^* ∈ EndΛ²(E) перестановочен с оператором Ходжа *_g, ассоциированным со скалярным произведением на E.

Метрику g в M⁴ мы называем слабо эйнштейновой, если оператор (R-1)² ∈ EndΛ²(Tm⁴) перестановочен с оператором Ходжа. Теорема 2 дает описание слабо эйнштейновой метрики в терминах 5-мерных расслоений с метрической связностью, ассоциированных с метрикой в смысле §2.

В §4 с конформной структурой C на многообразии Mⁿ ассоциируется некоторое (n+2)-мерное векторное расслоение L_C → Mⁿ с метрической связностью (∇, ⟨·,·⟩). Даётся внутреннее описание таких расслоений и показывается, что конформная структура C и ее тензор Вейля легко описываются в терминах расслоения L_C. Доказывается, что конформная структура C содержит метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда расслоение L_C допускает ковариантно постоянное сечение. Таким образом, уравнение Эйнштейна для конформной структуры можно рассматривать как условие интегрируемости линейного уравнения, а именно, уравнения ∇s = 0, s ∈ Γ(L_C). Описаны также расслоения L_C, ассоциированные с конформными структурами, содержащими метрику, удовлетворяющую уравнению Янга-Миллса. Отметим, что расслоение L_C ассоциированно с расслоением конформных 2-реперов, снабженным связностью Картана. В случае, когда dimM=4, расслоение L_C изоморфно внешнему квадрату локально твисторного расслоения, описанного в [4].

Результаты §§3-4 можно интерпретировать как варианты калибровочной теории гравитации с группой SO(3,1), SO(4,1) или SO(4,2) (группа Лоренца, группа деСиттера и группа Пенроуза). При этом динамическими переменными являются коэффициенты связности. Отметим, что в [2] строятся калибровочные теории гравитации, динамическими переменными которых являются коэффициенты связности вместе с коэффициентами припаивающей формы.

В §5 строятся скалярные инварианты связности. Сопоставление результатов §4 и §5 приводит к методу построения инвариантов конформной структуры. Статья заканчивается примером простейшего калибровочно инвариантного лагранжиана.

Всюду в статье рассматриваются векторные расслоения со связностью над фиксированной базой Mⁿ. Все рассмотрения посуществу локальны. Под уравнением Эйнштейна я понимаю вакуумное уравнение Эйнштейна с космологическим членом.

Я благодарен Д.В. Алексеевскому за неоценимую помощь в работе на всех этапах, а также В.Н. Пономареву за постановку задач, обсуждаемых в §3, и Ю.И. Манину, лекции которого по математической физике я посещал в течение нескольких лет.

§1. Связности в векторных расслоениях

В этом параграфе показано, как абстрактное векторное расслоение со связностью и подрасслоением может порождать различные структуры на касательном расслоении (проективную структуру, грассманову спинорную структуру). В начале параграфа дается характеризация расслоений со связностью, изоморфных касательному расслоению со связностью без кручения.

Пусть E есть векторное расслоение над n-мерным многообразием M, ∇ - связность на E, Φ - E-значная 1-форма на M, R_∇ есть EndE-значная 2-форма - кривизна связности ∇. Форма Φ определяет гомоморфизм Φ̂: T(M) → E касательного расслоения в расслоение E.

Форма Φ называется невырожденной, если этот гомоморфизм имеет нулевое ядро. Если при этом dimE=n, то Φ̂ есть изоморфизм. Если Φ̂ есть изоморфизм, то определена линейная связность (т.е. связность в касательном расслоении) ∇^Φ, задаваемая формулой

∇_X^Φ(Y) = Φ̂^-1∇_XΦ̂(Y).

Предложение 1. Пусть E есть n-мерное векторное расслоение над n-мерным многообразием M, ∇ - связность на E, Φ - невырожденная E-значная 1-форма на M. Отождествим E с TM при помощи Φ̂. Тогда:

1) ∇ Φ отождествится с TM-значной 2-формой кручения линейной связности ∇^Φ,

2) ∇²Φ отождествится с TM-значной 3-формой Бьянки β(R_∇), задаваемой формулой

β(R_∇^Φ)(X,Y,Z) = R_∇^Φ(X,Y)Z + R_∇^Φ(Y,Z)X + R_∇^Φ(Z,X)Y     (1).

Здесь ∇ - оператор ковариантного дифференцирования, действующий в пространстве Γ(E⊗Λ(TM)) E-значных дифференциальных форм на M, R_∇^Φ есть End(TM)-значная 2-форма кривизны связности ∇^Φ, X,Y,Z - векторные поля на M.

Доказательство следует из выкладки:

∇^Φ_X(Y) - ∇^Φ_Y(X) - [X,Y] = Φ̂^-1(∇_XΦ(Y) - ∇_YΦ(X) - Φ([X,Y])) = Φ̂^-1∇Φ(X,Y).

█

С каждым подрасслоением F расслоения E связана каноническим образом 1-форма B_F на M со значением в Hom(F,E/F), задаваемая формулой

B_F(X)s_x = ∇_Xs(modF_x)     (2),

где s - сечение подрасслоения F, проходящее через точку s_x∈ F_x, x∈ M.

Будем называть B_F формой Петерсона подрасслоения F.

Выбор дополнения F' к F в E определяет связности на F и на E/F, а тем самым и на Hom(F,E/F). Поэтому определен ковариантный дифференциал ∇ B_F формы Петерсона подрасслоения F.

Следующее предложение является обобщением уравнения Петерсона-Кодацци.

Предложение 2. Ковариантный дифференциал ∇ B_F формы Петерсона не зависит от выбора дополнения F' к F в E и равен

∇ B_F = p(R_∇)     (3),

где R_∇ есть End(E)-значная 2-форма кривизны связности ∇, p: End(E) → Hom(F,E/F) - естественная проекция.

Доказательство. Пусть P - проекция E вдоль F на некоторое дополнение к F, s∈ Γ(F). Если отождествить это дополнение с E/F, то B_F(X)s отождествится с P(∇_Xs). Имеем

∇B_F(X,Y)s = P∇_XB_F(Y)s - B_F(Y)(1-P)∇_Xs - P∇_YB_F(X)s + B_F(X)(1-P)∇_Ys - B_F([X,Y])s = P∇_XP∇_Ys - P∇_Y(1-P)∇_Xs - P∇_YP∇_Xs + P∇_X(1-P)∇_Ys - P∇_[X,Y]s = p(R_∇(X,Y)s).

█

Замечание. Пусть M ⊆ R^N - подмногообразие, E - сужение на M касательного расслоения к R^N, F=TM. Тогда уравнение 3 превращается в классическое уравнение Петерсона-Кодацци.

Соединяя предложение 1 и предложение 2, получаем следующее.

Предложение 3. Пусть F - подрасслоение расслоения E со связностью, причом форма Петерсона подрасслоения F невырождена, и dimF·codimF=n=dimM. Предположим, что подрасслоение F инвариантно относительно операторов кривизны: R_∇(X,Y)F ⊆ F. Тогда любое дополнение F' к F в E порождает связность без кручения в TM:

∇_X(Y) = B̂_F^-1∇^F'_XB̂_F(Y),

где B_F - форма Петерсона подрасслоения F, ∇^F' - связность на Hom(F,E/F), определяемая F'.

Доказательство получается применением предложения 1 к расслоению Hom(F,E/F) и форме B_F.

█

Введем обозначения, которые нам понадобятся в следующем предложении. Пусть E - расслоение со связностью ∇, F - подрасслоение расслоения E. Пусть F' и F'' - два дополнения к F в E. Они определяют связности ∇' и ∇'' на F и связности ∇'̅ и ∇''̅ на E/F. Допуская некоторую вольность речи, мы будем обозначать через ∇'̅ и ∇''̅ также и связности на F' и F'', определяемые их отождествлением с E/F. Пусть B' и B'' - форма Петерсона подрасслоения F, понимаемая как Hom(F,F')- и Hom(F,F'')-значная форма; B'̅ и B''̅ - формы Петерсона подрасслоения F' и F'', понимаемые как Hom(E/F,F)-значные формы. Пусть

∇', ∇'': Hom(E/F, F) → Hom(E/F, F) ⊗ Γ(T^*M)

- операторы ковариантного дифференцирования, отвечающие, соответственно, связностям ∇'̅, ∇' и ∇''̅, ∇''. Паре дополнений F', F'' к подрасслоению F отвечает гомоморфизм A: E/F → F: A(s̅)=s'-s'', где s̅ ∈ Γ(E/F), s'∈ Γ(F'), s'' ∈ Γ(F''), s̅=p(s')=p(s''), где p: E → E/F - каноническая проекция.

Предложение 4. Пусть E есть расслоение со связностью ∇, F - подрасслоение, F', F'' - дополнения к F в E. Тогда справедливы соотношения:

1) ∇''_Xs-∇'_Xs = -AB(X)s.

2) ∇''̅_Xs̅ - ∇'̅_Xs̅ = B(X)As̅.

3) B''̅(X) - B'̅(X) = ∇'A(X) - AB(X)A = ∇''A(X)+AB(X)A.

Доказательство.

1)

∇_Xs = ∇'_Xs+B'(X)s = ∇'_Xs - AB(X)s + B'(X)s + AB(X)s = ∇'_Xs - AB(X)s + B''(X)s.

2)

∇_Xs'' = ∇_X(s'+As̅) = ∇'̅_Xs' + B'̅(X)s̅ + ∇'_XAs̅ + B'(X)As̅ = ∇'̅_Xs' + B'(X)As̅ + A∇'_Xs̅ + AB(X)As̅ + B'̅(X)s̅ + ∇'_XAs̅ - A∇'_Xs̅ - AB(X)As̅.

Проекция этой суммы на E/F есть ∇''̅_Xs̅.

3) Сумма первых четырех слагаемых принадлежит F'', а последние четыре принадлежат F, следовательно сумма последних четырех слагаемых есть B''̅(X)s̅.

█

Линейные связности ∇' и ∇'' называются проективно эквивалентными, если существует скалярная 1-форма α такая, что для любых векторных полей X,Y∈ Γ(TM) выполнено равенство

∇''_XY = ∇'_XY + α(X)Y + α(Y)X.

Класс проективно эквивалентных линейных связностей называется проективной структурой (см., например, [3]).

Предложение 5. Пусть E есть n+1-мерное векторное расслоение со связностью ∇, F - 1-мерное подрасслоение с невырожденной формой Петерсона B. Тогда:

1) Связности на TMⁿ, определяемые всевозможными дополнениями к F в E, образуют класс проективно эквивалентных линейных связностей.

2) Любая проективная структура на Mⁿ может быть получена таким образом из некоторой тройки E,∇,F.

Доказательство. 1) Пусть F', F'' суть дополнения к F, A - соответствующий гомоморфизм E/F → F, отождествляемый со скалярной 1-формой α: α(X)s = AB(X)s, s∈ Γ(F). Тогда

∇''_XY = B^-1(∇''_XB(Y) - B(Y)∇''_X) = B^-1(∇'_XB(Y) + B(X)AB(Y) - B(Y)∇'_X + B(Y)AB(X)) = B^-1(∇'_XB(Y) - B(Y)∇'_X) + B^-1(B(X)AB(Y) + B(Y)AB(X) = ∇'_XY + α(Y)X + α(X)Y.

Здесь мы воспользовались 1-ым и 2-ым утверждениями предложения 4.

2) Очевидно. Сравни предложение 7, где рассмотрен случай нулевого кручения.

█

Переходим к построению расслоения со связностью, канонически соответствующего проективной структуре на базе.

Пусть ∇⁰ - связность без кручения на TMⁿ, такая что индуцированная связность на Λⁿ(TMⁿ) - плоская, т.е. trR_∇⁰(X,Y)=0 для всех X,Y. Рассмотрим расслоение L_∇⁰ = Rs ⊕ TMⁿ со связностью ∇, задаваемой формулой:

∇_X(φ,Y) = (X(φ)-ρ(X,Y)/(n-1), φX+∇⁰_XY),

где Rs - 1-мерное тривиальное расслоение, φ ∈ C^∈fty(Mⁿ), X,Y ∈ Γ(TMⁿ), ρ - тензор Риччи связности ∇⁰.

Предложение 6.

1) В классе проективно эквивалентных линейных связностей всегда найдутся связности индуцирующие плоскую связность на Λⁿ(TMⁿ);

2) если ∇', ∇'' суть проективно эквивалентные линейные связности, индуцирующие плоскую связность на Λⁿ(TMⁿ), то существует (локально) функция λ такая, что

∇''_XY - ∇'_XY = (X(λ)Y + Y(λ)X))/λ;

3) при тех же предположениях существует канонический изоморфизм расслоений со связностью φ: L_∇' → L_∇'', φ(s) = λs, φ(X) = λX + X(λ)s для некоторой функции λ.

Доказательство утверждений 1 и 2 очевидно. В (3) следует в качестве λ взять функцию, существование которой утверждается в (2). Тогда перестановочность φ со связностью следует из формул преобразования тензора Риччи при замене связности на проективно эквивалентную (см. например [6]).

█

Следствие. Пусть Mⁿ - многообразие с проективной структурой, ∇⁰ - произвольная линейная связность из данного класса проективно эквивалентных связностей, индуцирующая плоскую связность на Λⁿ(TMⁿ). Тогда расслоение L_∇⁰ со связностью и 1-мерным подрасслоением однозначно определяется проективной структурой.

Будем называть расслоение L_∇⁰ расслоением, ассоциированным с проективной структурой. Следующее предложение описывает расслоения изоморфные расслоениям вида L_∇⁰.

Предложение 7. Пусть E - n+1-мерное расслоение со связностью ∇ и 1-мерным подрасслоением F с невырожденной формой Петерсона и такое что R(X,Y)F ⊆ F для всех X,Y ∈ Γ(TMⁿ). Пусть s ∈ Γ(F) - произвольное сечение. Тогда

1)

∇_X∇_Ys = ∇_∇°XYs + σ(X,Y)s,

где ∇° - некоторая линейная связность, σ - некоторая билинейная форма на TM^n;

2) σ = τ - ρ/(n-1), где ρ - тензор Риччи связности ∇°, τ - некоторая билинейная форма на TMⁿ, зависящая только от тройки E,∇,F;

3) тройка E,∇,F ассоциированна с некоторой проективной структурой тогда и только тогда, когда ∇ индуцирует плоскую связность на Λⁿ⁺¹(E) и τ=0.

Доказательство. 1) Сечение s индуцирует разложение E в прямую сумму E = Rs ⊕ TMⁿ: (φ,X) ⇒ φs + ∇_Xs.

2) Посмотрим, как меняется σ при замене s на λ s:

∇_X∇_Yλ s = X(Y(λ))s + Y(λ)∇_Xs + X(λ)∇_Ys + λ∇_∇X°Ys + λσ(X,Y)s = ∇_Zλs + (σ(X,Y) + Ddλ)(X,Y) - 2X(λ)Y(λ)/λ²)λs,

где Z = ∇_X°Y + (X(λ)Y+Y(λ)X)/λ.

Здесь мы воспользовались тождеством

X(Y(λ))-(∇_X°Y)(λ) = (∇ dλ)(X,Y),

где D: Γ(T^*Mⁿ) → Γ(T^*Mⁿ⊗T^*Mⁿ) - оператор ковариантного дифференцирования, отвечающий связности ∇°.

3) При σ = -ρ/(n-1) наше отождествление E=Rs⊕ TMⁿ превращает его в L_∇°.

█

Грассмановой спинорной структурой в смысле Манина [1] на многообразии M называется разложение TM в тензорное произведение двух неодномерных расслоений. Пусть E - векторное расслоение со связностью ∇ над Mⁿ и F - такое подрасслоение, что dimF·codimF=n, dimF≠1, codimF≠1, и форма Петерсона B_F подрасслоения F невырождена. Тогда форма Петерсона задает на Mⁿ грассманову спинорную структуру: TMⁿ=F^* ⊗ E/F.

Предложение 8. Всякая грассманова спинорная структура на Mⁿ может быть получена из некоторых E,∇,F, описанным выше способом.

Доказательство. Пусть χ - F₁⊗F₂-значная 1-форма такая, что χ̂: TMⁿ → F₁⊗F₂ = Hom(F₁^*,F₂) - изоморфизм. Положим E=F₁^*⊕ F₂, F=F₁^*. Выберем произвольные связности ∇¹ на F₁ и ∇² на F₂. Положим

∇_X(s₁,s₂) = (∇¹_Xs₁,∇²_Xs₂+χ(X)s₁)

для s₁ ∈ Γ(F₁^*), s₂ ∈ Γ(F₂), X ∈ Γ(TMⁿ).

█

Замечание. Если грассманова спинорная структура TMⁿ = F₁⊗F₂ происходит из некоторого расслоения со связностью и подрасслоением, то, как следует из предложения 1, на TMⁿ имеется естественная связность, сохраняющая грассманову спинорную структуру и определенная с точностью до прибавления End(TMⁿ)-значной 1-формы A_α вида A_α(X)Y = α̅(X,Y), где

α̅(f₁⊗f₂,f'₁⊗f'₂) = α(f₁⊗f'₂)f'₁⊗f₂ + α(f'₁⊗f₂)f₁⊗f'₂,

а α - некоторая скалярная 1-форма.

§2. Метрические связности

В этом параграфе установлено почти взаимно однозначное соответствие между псевдоримановыми метриками на многообразии Mⁿ и классами изоморфных векторных расслоений со связностью, кривизна которой удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению. Это соответствие используется в следующем параграфе.

Пусть E есть векторное расслоение. Скалярным произведением на E называется поле симметрических билинейных форм на слоях E (если не оговорено противное, невырожденных), но, возможно, индефинитных.

Связность ∇ на векторном расслоении E называется метрической, если она сохраняет некоторое скалярное произведение (·,·) на E, т.е.

X(s₁,s₂) = (∇_Xs₁,s₂) + (s₁,∇_Xs₂),

где X∈ Γ(TM), s₁,s₂ ∈ Γ(E). Если группа голономий метрической связности ∇ неприводима, то инвариантное скалярное произведение определено однозначно с точностью до постоянного множителя.

Для краткости, допуская вольность речи, мы будем называть метрической связностью пару (∇,(·,·)), где ∇ - метрическая связность, (·,·) - сохраняемое ею скалярное произведение.

Пусть ∇,(·,·) - метрическая связность на расслоении E, и пусть R - End(E)-значная 2-форма кривизны связности ∇. Если отождествить двойственное расслоение E^* с E при помощи скалярного произведения (·,·), то форма R_∇ определит гомоморфизм

Λ²(TMⁿ) → Λ²(E),

который мы будем называть гомоморфизмом кривизны.

Приведем описание псевдоримановых метрик на многообразии Mⁿ в терминах метрических связностей на абстрактном n+1-мерном векторном расслоении над Mⁿ.

Сопоставим псевдоримановой метрике g на Mⁿ метрическую связность (∇,(·,·)) в расслоении E=TMⁿ⊕ Rs, задаваемую формулами

∇_X(Y,φ) = ∇^g_XY + φX, X(φ) - g(X,Y),

((X,φ),(Y,χ)) = g(X,Y) + φχ     (4).

Здесь Rs - 1-мерное тривиальное расслоение над Mⁿ, ∇^g - связность Леви-Чевиты метрики g, X,Y∈ Γ(TMⁿ), φ,χ ∈ C^∈fty(Mⁿ).

Будем называть это расслоение с метрической связностью расслоением, ассоциированным с метрикой g. Заметим, что сечение s=(0,1)∈ Γ(E) аннулируется всеми операторами кривизны R_∇(X,Y), а метрика g восстанавливается по ассоциированному расслоению E с метрической связностью (∇,(·,·)) и сечению s∈ Γ(E) по формуле

g(X,Y)=(∇_Xs,∇_Ys)     (5).

Имеет место следующее предложение.

Предложение 9. Пусть ∇,(·,·) - метрическая связность в n+1-мерном расслоении E над Mⁿ, и пусть s - сечение расслоения E, удовлетворяющее условиям: а) (s,s)=1; б) форма Петерсона подрасслоения Rs невырожденна; в) R_∇(X,Y)s=0 для любых X,Y∈ Γ(TMⁿ). Тогда формула (5) задает псевдориманову метрику на Mⁿ, причем расслоение E с метрической связностью ∇,(·,·) канонически изоморфно расслоению, ассоциированному с этой метрикой.

Доказательство. Требуемый изоморфизм ассоциированного расслоения на расслоение E задается формулой (X,φ) ⇒ φ s+∇_Xs.

█

Следствие. Имеется биекция между псевдоримановыми метриками на Mⁿ и классами изоморфных наборов (E,∇,(·,·),s), где ∇,(·,·) - метрическая связность на n+1-мерном расслоении, s - сечение E, удовлетворяющее условиям предложения 9.

Замечание 1. В случае общего положения (если гомоморфизм кривизны R_∇: Λ²(TMⁿ) → Λ²(E) инъективен), сечение s, удовлетворяющее условиям предложения 9 (если оно существует), определено однозначно с точностью до знака (причем замена s на -s не меняет соответствующей метрики), так что вместо четверок E,∇,(·,·),s можно рассматривать тройки E,∇,(·,·). Условие существования сечения s, удовлетворяющего условиям предложения 9, есть алгебраическое уравнение на кривизну связности ∇.

Замечание 2. Это алгебраическое уравнение на кривизну выражает в точности неинъективность кривизны как гомоморфизма E → E ⊗ Λ²(T^*Mⁿ). При n=2 оно, очевидно, выполнено тождественно.

Замечание 3. Наши рассмотрения можно обобщить, построив по метрике на базе семейство ассоциированных расслоений с метрической связностью, зависящих от параметра c∈ R, заменив (4) на

∇_X(Y,φ) = ∇^g_XY + cφ X, X(φ)-g(X,Y),

((X,φ),(Y,χ)) = g(X,Y)+cφχ.

При c=0 скалярное произведение (·,·) вырождено. Все эти ассоциированные расслоения с метрической связностью, отвечающие разным c > 0 канонически изоморфны друг другу, и то же верно для c < 0. Рассмотрим случай, когда размерность базы n=4, а метрика имеет лоренцову сигнатуру. Тогда ассоциированное расслоение при c>0 связано с калибровочными теориями с группой деСиттера So(4,1), при c<0 - с группой анти-деСиттера So(3,2), а при c=0 - с группой Пуанкаре. В дальнейшем мы не будем рассматривать ассоциированные расслоения в этом, более широком смысле.

§3. Описание уравнения Эйнштейна в терминах абстрактных расслоений
(при n=4)

В этом параграфе устанавливаются соответствия между эйнштейновыми метриками на M⁴ и метрическими связностями в 4-мерных и 5-мерных векторных расслоениях, удовлетворяющими некоторым условиям.

В случае n=4 вакуумное уравнение Эйнштейна с космологическим членом допускает следующую формулировку (см. [5]). Метрическая связность ∇,g на касательном расслоении TM⁴ называется эйнштейновой, если ее кручение =0, а ее кривизна (рассматриваемая как эндоморфизм внешнего квадрата Λ²(TM⁴) касательного расслоения) перестановочна с оператором Ходжа, определяемым метрикой g. Будем называть метрическую связность на касательном расслоении TM⁴ обобщенно эйнштейновой, если выполнено только условие перестановочности кривизны с оператором Ходжа. Это равносильно симметричности тензора Вейля и антисимметричности бесследового тензора Риччи (как билинейных форм на Λ²(TM⁴)).

В следующей теореме дается необходимое условие для того, чтобы 4-мерное расслоение с метрической связностью было изоморфно касательному расслоению с эйнштейновой метрической связностью. Для ее доказательства нам потребуется следующая лемма, относящаяся к линейной алгебре.

Лемма. Эндоморфизм внешнего квадрата 4-мерного векторного пространства является оператором Ходжа, порожденным некоторым скалярным произведением, тогда и только тогда, когда он самосопряжен относительно естественного скалярного произведения со значением в 4-й внешней степени, а его квадрат =±1.

Пусть E - 4-мерное расслоение над M⁴ с метрической связностью ∇,(·,·). Выбор формы объема на базе определяет скалярное произведение на Λ²(TM⁴) и, тем самым, гомоморфизм

R_∇^*: Λ²(E) → Λ²(TM⁴)

двойственный гомоморфизму кривизны связности ∇.

Теорема 1. Для того, чтобы 4-мерное расслоение E над M⁴ с метрической связностью ∇,(·,·) было изоморфно касательному расслоению TM⁴ с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью необходимо выполнение равенства

RR^*z = zRR^*     (6),

где R - гомоморфизм кривизны связности ∇, R^* - двойственный гомоморфизм, z - оператор Ходжа в Λ²(E), определяемый скалярным произведением.

Если ядро гомоморфизма кривизны R не пересекается со своим ортогональным дополнением, то условие (6) является и достаточным (в частности, это так, если KerR_∇=0).

Замечания.

1) Очевидно, условие (6) не зависит от выбора формы объема на M⁴.

2) Если выбраны локальные координаты на M⁴ и тривиализация расслоения E, то формулу 6 можно записать так:

R^{α β}_[ijR^{λ μ}_kl]z^{γ δ}_{λ μ} = R^{γ δ}_[ijR^{λ μ}_kl]z^{α β}_{λ μ}     (*).

Здесь латинские индексы относятся к координатам на базе, греческие - к координатам на слое, квадратные скобки означают альтернирование, z - оператор Ходжа.

Доказательство теоремы 1. Оператор Ходжа является самосопряженным оператором. Поэтому из его перестановочности с R_∇ вытекает его перестановочность с R_∇^*, а значит и с R_∇R_∇^*.

Обратно, пусть KerR_∇ ∩ KerR_∇°< = 0. Тогда ImR_∇ = ImR_∇R_∇^* и, значит, при условии (6), ImR_∇ инвариантен относительно оператора Ходжа

z: Λ²(E) → Λ²(E).

Гомоморфизм R_∇ осуществляет изоморфизм KerR_∇° → ImR_∇. Перенесем оператор Ходжа с ImR_∇ на KerR_∇° при помощи этого изоморфизма. Если KerR_∇≠ 0, доопределим оператор Ходжа на KerR_∇ произвольным образом, так, чтобы он был самосопряженным относительно естественного скалярного произведения на Λ²(TM⁴) со значениями в Λ⁴(TM⁴), и его квадрат равнялся ±1 (знак определяется сигнатурой). Из леммы следует, что построенный эндоморфизм является оператором Ходжа некоторой метрики на M⁴. Мы приходим к равенству

R_∇z_T = z_ER_∇     (7),

где z_E, z_T - операторы Ходжа, соответственно, в Λ²(TM⁴) и Λ²(E). Выберем произвольную изометрию Φ̅: TM⁴ → E, и отождествим с ее помощью расслоения E и TM⁴. Тогда формула (7) превращается в требуемое равенство R^Φz_T = z_TR^Φ, где R^Φ кривизна связности на TM⁴, перенесенная с E при помощи Φ̅.

█

Пусть расслоение E с метрической связностью изоморфно касательному расслоению TM⁴ с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью ∇,g, т.е. существует изоморфизм расслоений с метрической связностью Φ̅: TM⁴ → E. Тогда E-значная 1-форма Φ, соответствующая Φ̅, называется припаивающей формой.

Если расслоение E с метрической связностью удовлетворяет уравнению 6, и KerR_∇=0, то припаивающая форма определена однозначно с точностью до конформного множителя (в частности, конформный класс эйнштейновой метрики на базе определен однозначно).

Пусть V - произвольное 4-мерное векторное пространство со скалярным произведением. В случае лоренцевой сигнатуры оператор Ходжа превращает Λ²(V) в 3-мерное комплексное пространство; в случае, когда скалярное произведение знакоопределено или имеет сигнатуру ++--, Λ²(V) распадается в прямую сумму двух 3-мерных вещественных пространств - собственных пространств оператора Ходжа. Эта комплексная структура и это разложение используется в следующем предложении.

Предложение 10. Пусть E - 4-мерное расслоение над M⁴ с метрической связностью, гомоморфизм кривизны которой инъективен.

1) Оно изоморфно касательному расслоению TM⁴ с некоторой обобщенно эйнштейновой метрической связностью без космологического члена (т.е. с нулевой скалярной кривизной) и нулевым тензором Бьянки (1) тогда и только тогда, когда оператор RR^* перестановочен с оператором Ходжа и удовлетворяет следующему алгебраическому условию: а) если сигнатура лоренцева, то

(tr _C(RR^*))² = 2tr _C(RR^*)²     (8-а),

где tr _C означает комплексный скаляр - след комплексного эндоморфизма; б) если скалярное произведение знакоопределенно или имеет сигнатуру ++--, то

(tr(RR^*)₊)² = 2tr((RR^*)₊)²(tr(RR^*)_-)² = 2tr((RR^*)_-)²     (8-б),

где (RR^*)₊ и (RR^*)_- - сужения RR^* на собственные подпространства звездочки Ходжа.

2) При выполнении этих условий припаивающая форма определена однозначно с точностью до скалярного множителя.

Доказательство. Назовем припаивающую форму Φ допустимой, если метрическая связность ∇^Φ = Φ̅^-1∇ Φ̅ обобщенно эйнштейнова. Выберем произвольную допустимую припаивающую форму Φ (существующую по теореме 1). Любая допустимая припаивающая форма имеет вид Φ A, где A - произвольный конформный автоморфизм TM⁴. Обращение в 0 тензора Бьянки равносильно самосопряженности кривизны как эндоморфизма Λ²(TM⁴) и обращению в 0 ее компоненты, пропорциональной оператору Ходжа, (т.е. мнимой части ее следа). Поэтому задача сводится к доказательству существования и единственности такого конформного автоморфизма A: TM⁴ → TM⁴, что

R_ΦΛ²(A) = (R_ΦΛ²(A))^*,

tr _C(R^ΦΛ²(A) = 0

(в случае лоренцевой сигнатуры; в случае другой сигнатуры tr(R^ΦΛ²(A)₊ = tr(R^ΦΛ²(A))_-). Здесь R^Φ - кривизна связности ∇^Φ, Λ²(A)(x∧ y) = Ax∧ Ay тоже коммутирует с звездочкой.

Поскольку любой ортогональный автоморфизм Λ²(TM⁴), коммутирующий с звездочкой Ходжа, имеет вид Λ²(A) для некоторого ортогонального A: TM⁴ → TM⁴, задача сводится к построению комплексно ортогонального аналога полярного разложения эндоморфизма R. Разложение R в композицию самосопряженного и ортогонального эндоморфизмов биективно соответствуют квадратным корням из RR^*, поскольку эндоморфизм R невырожден. Из невырожденного эндоморфизма всегда можно извлечь квадратный корень, причем, если у него нет одинаковых жордановых клеток - конечным числом способов. В 3-мерном случае имеется не более одного квадратного корня с нулевым следом. Условие существования квадратного корня с нулевым следом из RR^* есть (8).

█

Замечание. Гомоморфизм кривизны обобщенно эйнштейновой связности без космологического члена с нулевым тензором Бьянки может быть либо невырожденным, либо равным 0, либо иметь 2-мерное ядро. В последнем случае на пространстве-времени имеется поле 2-мерных касательных плоскостей такое, что ядро кривизны порождается его внешним квадратом и внешним квадратом его ортогонального дополнения. При этом однозначность соответствия теоремы 1 нарушается. Соответствующее абстрактное расслоение со связностью распадается в сумму двух 2-мерных: E=E₁⊕ E₂,

Λ²(E₁)⊕ Λ²(E₂) = KerR_∇^*.

Пусть припаивающая форма Φ есть Φ₁⊕ Φ₂. Тогда припаивающая форма A₁Φ₁⊕ A₂Φ₂ тоже допустима; здесь A₁ и A₂ - произвольные конформные автоморфизмы E₁ и E₂. Утверждение пункта 1 предложения 10 остается верным и в случае вырожденного гомоморфизма кривизны.

Предложение 11. Пусть E - 4-мерное расслоение над M⁴ с метрической связностью (∇,(·,·)), гомоморфизм кривизны которой инъективен, и пусть существует невырожденная E-значная 1-форма Φ такая, что линейная связность ∇^Φ в TM⁴ эйнштейнова (т.е. обобщенно эйнштейнова и без кручения) без космологического члена. Тогда такая форма Φ единственна (с точностью до постоянного множителя).

Доказательство вытекает из утверждения 2 предложения 10, предложения 1 и дополняющей его следующей леммы.

Лемма. Пусть E - расслоение со связностью над Mⁿ, Φ - E-значная 1-форма такая, что размерность образа Φ̂: TMⁿ → E не меньше 2. Тогда, если ∇ Φ =0 и ∇(fΦ)=0 для некоторого f∈ C^∈fty(Mⁿ), то f - константа.

█

Замечание. Из леммы следует, что для n-мерных расслоений E со связностью ∇ "общего положения" над Mⁿ (n≥4) справедливо следующее. Если существует E-значная 1-форма Φ такая, что линейная связность ∇^Φ не имеет кручения, то Φ единственна с точностью до постоянного множителя. Дело в том, что если такое Φ существует, то ядро гомоморфизма

∇²: E ⊗ T^*Mⁿ → E ⊗ Λ³T^*Mⁿ

в случае "общего положения" 1-мерно.

Перейдем к характеризации эйнштейновых метрик на M⁴ в терминах 5-мерных расслоений со связностью. Следующая теорема дает необходимые условия для того, чтобы 5-мерное расслоение со связностью было ассоциировано (в смысле §2) с эйнштейновой метрикой на базе.

Назовем метрику g на M⁴ слабо эйнштейновой, если кривизна ее (как эндоморфизм внешнего квадрата касательного расслоения) удовлетворяет условию

(R-1)²* = *(R-1)²     (9)

где R - кривизна метрики g, *: Λ²TM⁴ → Λ²TM⁴ - оператор Ходжа, определяемый метрикой g.

Заметим, что множество эйнштейновых метрик открыто в пространстве слабо эйнштейновых метрик.

Пусть V - произвольное 5-мерное векторное пространство со скалярным произведением. Любому вектору v∈ V отвечает эндоморфизм v̂ внешнего квадрата Λ²V этого пространства, задаваемый формулой v̂(w) = *(v∧ w), где * - оператор Ходжа.

Теорема 2. 5-мерное расслоение E над M⁴ с метрической связностью (∇,(·,·)) ассоциировано со слабо эйнштейновой метрикой на M⁴ тогда и только тогда, когда существует такое сечение s∈ Γ(E), удовлетворяющее условиям предложения 9 и такое, что форма Петерсона подрасслоения Rs невырожденна, а соответствующий эндоморфизм

ŝ: Λ²E → Λ²E

перестановочен с композицией гомоморфизма кривизны и двойственного гомоморфизма:

R_∇R_∇^*ŝ = sR_∇R_∇^*     (10)

Доказательство. Пусть E ассоциированно со слабо эйнштейновой метрикой. Тогда расслоение E естественно изоморфно Rs⊕ TM⁴. Поэтому Λ²E отождествляется с Λ²TM⁴ ⊕ TM⁴. При этом эндоморфизм ŝ: Λ²E → Λ²E задается блочной матрицей

*	0
0	0

где *: Λ²TM⁴ → Λ²TM⁴ оператор Ходжа; гомоморфизм кривизны связности ∇ отождествится с (R_g-1,0), где R_g - гомоморфизм кривизны связности Леви-Чевиты. Поэтому R_∇R_∇^* имеет блочную матрицу, единственный ненулевой блок которой равен (R_∇-1)². Отсюда вытекает требуемое утверждение.

█

Замечание. Множество метрических связностей, описываемых теоремой 2, открыто и плотно в множестве связностей, кривизна которых удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению.

§4. Конформные структуры и уравнение Эйнштейна